Question

已知二次函数y=a（x+1）²+m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，顶点为M，直线MC的解析式为y=kx-3，且直线MC与x轴交于点N，sin∠BCO=．
（1）求直线MC及二次函数的解析式；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P（异于点C），使以点P、N、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由直线MC的解析式y=kx-3，得C（0，-3）．
设OB=t，
∵sin∠BCO===，
∴BC=t，则OC=3t．
∵OC=3，∴3t=3，
∴t=1．∴OB=1．
∵点B（1，0），C（0，-3）都在二次函数的图象上，
∴，解得a=1，m=-4，
∴二次函数的解析式为：y=x²+2x-3．
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3即k=1．
∴直线MC的解析式为：y=x-3；

（2）存在这样的点P．
①由于∠CNO=45°，则N（3，0），在y轴上取点D（0，3），连接ND交抛物线于点P（如图）．
∴PNC=90°．
直线ND的解析式为：y=-x+3．
解方程组，
解得，；
②由于点A是二次函数图象与x轴的另一交点，故A（-3，0）．连接AC（如图），∠ACN=90°，点A就是所求的点
P（-3，0）．
综上，满足条件的点为P₁（-3，0），P₂（，），P₃（，）．
分析：（1）由直线MC的解析式y=kx-3得C（0，-3），在Rt△BOC中，已知OC=3，解直角三角形求B点坐标及m的值，确定M点的坐标，再求直线MC的解析式；
（2）存在这样的点P．根据直线MC的解析式，判断△CON为等腰直角三角形，再分别过N、C两点作直线CN的垂线，与抛物线相交，求垂线的解析式，联立垂线解析式与二次函数解析式，求P点坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是运用待定系数法，解直角三角形求直线、抛物线解析式，根据抛物线上点的坐标特点，形数结合，分类讨论求P点坐标．