如图.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点B.与y轴交于点C.顶点D的坐标为．点P是第二象限内抛物线上的一动点.过点P做PM⊥x轴于M.交线段AC于点E．(1)求该二次函数的解析式和直线AC的解析式,(2)当△PAC面积为3时.求点P的坐标,(3)过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q.过点Q作QN⊥x轴于N．若点P在点Q左边.当矩形PQMN的周长最大时:①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相交于点A（-3，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（-1，4）．点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P做PM⊥x轴于M，交线段AC于点E．
（1）求该二次函数的解析式和直线AC的解析式；
（2）当△PAC面积为3时，求点P的坐标；
（3）过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时：①求EM的长；②直接判断△PCE是什么特殊三角形．

分析（1）待定系数法可分别求得二次函数与一次函数解析式；
（2）作PH⊥y轴，连接PC，设点P（a，-a²-2a+3），表示出PH、OH、AO、CH的长，由S_△PAC=S_梯形PHOA-S_△PCH-S_△AOC=3得出关于a的方程，求解即可得a的值，即可知点P的坐标；
（3）①设P（m，-m²-2m+3），矩形PQMN的周长为C，根据矩形周长公式表示出C关于m的函数解析式，求得其最值情况即可知点P坐标，结合直线AC的解析式即可得知EM的长；
②根据①知点P、E、C坐标，求出PE、PC、CE的长即可判断△PCE的形状．

解答解：（1）由题意可设抛物线解析式为y=a（x+1）²+4，
将点A（-3，0）代入，得：4a+4=0，
解得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，
则点C坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A（-3，0）、C（0，3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+3；

（2）如图，作PH⊥y轴，连接PC，

设点P（a，-a²-2a+3），
则PH=-a，OH=-a²-2a+3，OA=3，
∵S_△PAC=S_梯形PHOA-S_△PCH-S_△AOC=3，
∴$\frac{1}{2}$×（-a+3）（-a²-2a+3）-$\frac{1}{2}$×（-a）（-a²-2a+3-3）-$\frac{1}{2}$×3×3=3，
整理，得：a²+3a+2=0，
解得：a=-1或a=-2，
∴点P的坐标为（-1，4）或（-2，3）；

（3）①设P（m，-m²-2m+3），矩形PQMN的周长为C，
则PQ=-2m-2，PM=-m²-2m+3，
∵C=2[（-2m-2）+（-m²-2m+3）]
=-2m²-8m+2
=-2（m+2）²+10，
∴当m=-2时，矩形PQMN的周长最大，此时点P（-2，3），
当x=-2时，y=x+3=-2+3=1，即EM=1；
②由①知点E（-2，1），
∵点P（-2，3）、C（0，3），
∴PE=2，PC=2，CE=$\sqrt{（-2-0）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵PE²+PC²=CE²，且PE=PC，
∴△PCE是等腰直角三角形．

点评本题考查了二次函数解析式求法、性质，矩形的性质、一元二次方程的解法等知识，综合性较强，运用数形结合、方程思想是解题的关键．

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18．

如图所示的是正多边形残缺的一部分，A、B、C是正多边形的3个顶点，过正多边形的顶点B作直线l∥AC，若∠1=36°，则正多边形的边数为（　　）

A．

B．

C．

D．

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19．

如图所示，将菱形ABCD放置于平面直角坐标系中，其中AB边在y轴上，点C坐标为（4，0）．直线m：$y=-\frac{4}{3}x-3$经过点B，将该直线沿着y轴以每秒1个单位的速度向上平移，设平移时间为t，经过点D时停止平移．
（1）填空：点D的坐标为（4，5）；
（2）设平移时间为t，求直线m经过点A、C、D 的时间t；
（3）已知直线m与BC所在直线互相垂直，在平移过程中，直线m被菱形 ABCD 截得线段的长度为l，请写出l与平移时间t的函数关系表达式（不必写出详细的解答过程，简要说明你的解题思路，写清结果即可）．

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16．小明为了通过描点法作出函数y=x²-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：x₂-x₁=x₃-x₂=…=x₇-x₆=d，再分别算出对应的y值，列出表1：
表1

x	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇
y	1	3	7	13	21	31	43

记m₁=y₂-y₁，m₂=y₃-y₂，m₃=y₄-y₃，m₄=y₅-y₄，…；s₁=m₂-m₁，s₂=m₃-m₂，s₃=m₄-m₃，…
（1）判断s₁、s₂、s₃之间关系，并说明理由；
（2）若将函数“y=x²-x+1”改为“y=ax²+bx+c（a≠0）”，列出表2：
表2

x	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇
y	y₁	y₂	y₃	y₄	y₅	y₆	y₇

其他条件不变，判断s₁、s₂、s₃之间关系，并说明理由；
（3）小明为了通过描点法作出函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，列出表3：
表3

x	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇
y	10	50	110	190	290	412	550

由于小明的粗心，表中有一个值算错了，请指出算错的值（直接写答案）．

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3．

如图，在边长为6的正方形ABCD中，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，EF交线段CD于点P，FE的延长线交线段BC于点H，连接AH、AP．
（1）求证：△ADP≌△AEP；
（2）①求∠HAP的度数；②判断线段HP、BH、DP的数量关系，并说明理由；
（3）连接DE、EC、CF、DF得到四边形CFDE，在旋转过程中，四边形CFDE能否为矩形？若能，求出BH的值；若不能，请说明理由．

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13．

【探索研究】我们可以借鉴以前研究函数的经验，探索函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象性质．
（1）根据下表数据，画出上述函数图象．

X	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…	$\frac{17}{4}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{5}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{17}{4}$	…

（2）观察图象，写出该函数的一个性质．
【阅读理解】当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$=${（{\sqrt{x}}）^2}+{（{\sqrt{\frac{1}{x}}}）^2}={（{\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}}}）^2}+2$
（3）由此可见，当x=1时，函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值为2．
【变形应用】
（4）求函数y=x+$\frac{1}{x+1}$（x＞-1）的最小值，并指出y取得最小值时相应的x的值．

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20．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在器材投资商的平均增长率是多少？若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x，根据题意可列出的方程为2（1+x）+2（1+x）²=12．

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17．

如图，一次函数y=k₂x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y=k₁x的图象相交于点A（4，3），且OA=OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

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18．下列命题：
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；
④对于反比例函数y=$\frac{k}{x}$，当k＞0时，y随x的增大而减小；
⑤用反证法证明命题“对于任意的实数a，都有a²≥0”时应先假设a²≤0，
其中真命题共有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

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