Question

12．观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：在第一个图中（如图①），共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；在第二个图中（如图②），共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；在第三个图中（如图③），共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…则猜想在第n个图中，看得见的小立方体有n³-（n-1）³个．（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 由题意可知，共有小立方体个数为序数的立方，看得见的小正方体的个数=序数减1的立方，看不见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看得见的小正方体的个数．

解答 解：∵图①中，立方体的总个数为1=1³，看不见的立方体个数0=（1-1）³=0³，看得见的立方体数量为1³-0³；
图②中，立方体的总个数为8=2³，看不见的立方体个数1=1³，看得见的立方体个数2³-1³；
图③中，立方体的总个数为27=3³，看不见的立方体个数8=2³，看得见的立方体个数3³-2³；
∴有n个立方体时，立方体的总个数为n³，看不见的立方体个数为（n-1）³，看不见的小立方体的个数为n³-（n-1）³个；
故答案为：n³-（n-1）³．

点评 本题主要考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论