Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，若∠ADC=45°，BD=2DC，求tanB及sin∠BAD的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：由题意得到三角形ACD为等腰直角三角形，设DC=AC=1，利用勾股定理表示出AD，由BD=2CD表示出BD，根据BD+DC表示出BC，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出tanB的值，过D作DE垂直于AB，在直角三角形BDE中，由tanB的值设出ED与BE，根据勾股定理求出ED的长，在直角三角形AED中，利用锐角三角函数定义求出sin∠BAD的值即可．

解答：解：∵∠C=90°，∠ADC=45°，
∴∠DAC=45°，即△ACD为等腰直角三角形，
设CD=AC=1，根据勾股定理得：AD=

2

，
由BD=2DC，得到BD=2，即BC=DC+DC=3，
在Rt△ABC中，tanB=

AC

BC

=

1

3

；
过D作DE⊥AB，如图所示，
在Rt△BED中，tanB=

ED

BE

=

1

3

，
设ED=x，BE=3x，根据勾股定理得：x²+（3x）²=2²，
解得：x=

10

5

，
∴ED=

10

5

，
在Rt△AED中，sin∠BAD=

ED

AD

=

10 5

2

=

5

5

．

点评：此题考查了解直角三角形题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．