Question

4．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，E在AD上，将△ABE沿BE折叠后，A点落在CD上，记为点F．
（1）用尺规作出点E、F；
（2）若AB=5，AD=3，求折痕BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意作图即可；
（2）在△DEF中利用勾股定理可求得DF的长，证明Rt△ADF∽Rt△BAE，利用相似三角形的性质可求得BF的长，在△BEF中利用勾股定理可求得BE的长．

解答 解：（1）作法：

①作BF=BA交CD于F．
②连BF作∠ABF的平分线，则点E、F为所求．
（2）连接EF
由条件知：Rt△ABE≌Rt△FBE
∴EF=AE
又∵AE=5，DE=3，∠D=90°
∴DF=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4
又∵BE⊥AF
∴Rt△ADF∽Rt△BAE
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{AE}$
∴AB=$\frac{AD•AE}{DF}$=$\frac{8×5}{4}$=10．
∴BE=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{5}$．

点评 考查了翻折变换（折叠问题）、勾股定理、相似三角形的性质，利用翻折的性质找出图形中的等量是解题的关键．