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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=9,AD=4. ECD边上一点,CE=6. 点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒.

⑴求AE的长;

⑵当t为何值时,△PAE为直角三角形?

⑶是否存在这样的t,使EA恰好平分∠PED,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)5(2)6(3).

【解析】试题分析:(1)在直角△ADE中,利用勾股定理进行解答;

2)需要分类讨论:AE为斜边和AP为斜边两种情况下的直角三角形;

3)假设存在.利用角平分线的性质,平行线的性质以及等量代换推知:∠PEA=∠EAP,则PE=PA,由此列出关于t的方程,通过解方程求得相应的t的值即可.

试题解析:(1矩形ABCD中,AB=9AD=4

∴CD=AB=9∠D=90°

∴DE=9﹣6=3

∴AE==5

2∠EPA=90°t=6

∠PEA=90°

解得t=

综上所述,当t=6t=时,△PAE为直角三角形;

3)假设存在.

∵EA平分∠PED

∴∠PEA=∠DEA

∵CD∥AB

∴∠DEA=∠EAP

∴∠PEA=∠EAP

∴PE=PA

解得t=

满足条件的t存在,此时t=.

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