Question

11．如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2，OA=3，点P是OA上的任意一点，PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合．
（1）设OP=x，OE=y，求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值；
（2）当PD⊥OA时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题目条件得出Rt△POE∽Rt△BPA，然后根据相似三角形的性质列出比例式，转化为关于x的二次函数最值问题解答；
（2）设出二次函数的一般式，利用待定系数法列出方程组，求出a、b、c的值即可得到经过E、P、B三点的抛物线的解析式．

解答 解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°，
∴∠OPE+∠APB=90°．
又∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA，
∴Rt△POE∽Rt△BPA，
∴$\frac{PO}{OE}$=$\frac{BA}{AP}$．即$\frac{x}{y}$=$\frac{2}{3-x}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x（3-x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$（0＜x＜3），
∴当x=$\frac{3}{2}$时，y有最大值$\frac{9}{8}$；
（2）由已知得，△PAB、△POE均为等腰三角形，
则P（1，0），E（0，1），B（3，2）．
设过此三点的抛物线为y=ax²+bx+C，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{c=1}\\{9a+3b+c=2}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{5}{3}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
故经过E、P、B三点的抛物线的解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{5}{3}$x+1．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式的知识以及坐标与图形的关系，正确运用数形结合思想、灵活运用相关定理和性质是解题的关键．