Question

4、如图所示，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．
（1）求证：△BCD是等腰直角三角形；
（2）若BD=8厘米，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）要证△BCD是等腰直角三角形，只需证BC=DB，由已知BD⊥BC，EF⊥AB，可证∠2=∠3，由已知AC⊥BC，DB⊥BC，可证AC∥BD，得∠A=∠2，即可证得∠A=∠3，又已知∠ACB=∠EBD=90°，AB=DE，符合三角形全等的判定定理AAS，即可证得△ACB≌△EBD，所以BC=DB，即证△BCD是等腰直角三角形．
（2）由（1）知△ACB≌△EBD，得到AC=EB，又因为BD=8cm，即BC=8cm．又因为E是BC中点，故BE=4，即可求AC=4cm．

解答：（1）证明：如图所示，
∵BD⊥BC，EF⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
∵AC⊥BC，DB⊥BC，
∴AC∥BD．
∴∠A=∠2．
∴∠A=∠3．
∴又∠ACB=∠EBD=90°，AB=DE，
∴△ACB≌△EBD．
∴BC=DB．
∴△BCD是等腰直角三角形．

（2）由△ACB≌△EBD，
∴AC=EB，
∵BD=8cm，
∴BC=8cm．
∵E是BC中点，
∴BE=4cm，
∴AC=4（cm）．

点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．