Question

已知：AB为⊙O的直径，半径OD∥弦BC，且AD=1，AB=4，那么cos∠B的值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：连接AC，交OD于E．先根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，再由平行线的性质得出∠AEO=∠ACB=90°，∠AOE=∠B，则求cos∠B的值只需求cos∠AOE的值即可．设OE=x，则DE=2-x．由勾股定理，根据AE的长度不变，得出OA²-OE²=AD²-DE²，列出方程2²-x²=1²-（2-x）²，解方程求出x的值，然后在△OAE中，根据余弦函数的定义求出cos∠AOE的值．
解答：解：连接AC，交OD于E．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，∠AOE=∠B．
设OE=x，则DE=OD-OE=2-x．
∵AE²=OA²-OE²=AD²-DE²，
∴2²-x²=1²-（2-x）²，
解得x=．
在△OAE中，∠AEO=90°，
∴cos∠AOE===，
∴cos∠B=cos∠AOE=．
故选A．
点评：本题考查了圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角函数的定义，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键．