Question

8．如图，正方形ABCD和正方形BEFC，M是AB上一动点，从A至B移动（不与A、B重合），DM⊥MN，交对角线BF于点N，探究DM和MN之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 DM=MN，在AD上取AP=AM，连接DM，证明△DPM≌△MBN即可证明DM=MN．

解答 解：DM=MN，
在AD上取AP=AM，连接DM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴DP=MB，
∵DM⊥MN，∠A=90°，
∴∠ADM+∠AMD=∠BMN+∠AMD=90°，
∴∠ADM=∠BMN，
∵AP=AM，
∴∠APM=45°，
∴∠DPM=135°，
∵BF是正方形CBEF的对角线，
∴∠CBF=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DPM=∠MBN，
在△DPM和△MBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPM=∠MBN}\\{DP=MB}\\{∠ADM=∠BMN}\end{array}\right.$，
∴△DPM≌△MBN，
∴DM=MN．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，通过辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．