如图.点A是抛物线C1:y=$\frac{1}{2}$x2+2x+1的顶点.点B是抛物线C2:y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c的顶点.并且OB⊥OA．(1)求点A的坐标,(2)若OB=2$\sqrt{5}$.求抛物线C2的函数解析式,条件下.设P为x轴上的一个动点.探究:在抛物线C1或C2上是否存在点Q.使以点O.B.P.Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在.请求出点Q的坐标,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，点A是抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²+2x+1的顶点，点B是抛物线C₂：y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的顶点，并且OB⊥OA．
（1）求点A的坐标；
（2）若OB=2$\sqrt{5}$，求抛物线C₂的函数解析式；
（3）在（2）条件下，设P为x轴上的一个动点，探究：在抛物线C₁或C₂上是否存在点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）变形为顶点式即可得到点A的坐标；
（2）作AD⊥x轴于点D，BC⊥x于点C，可证明△AOD∽△OBC，利用相似三角形对应边成比例求出BC、OC的长，得到B的坐标可由顶点式求出抛物线C₂的函数解析式；
（3）设Q（m，n），由四边形QPBO是平行四边形，得n=4，然后代入抛物线C₁或C₂上解方程即可求出m的值，得到点Q的坐标．

解答解：（1）∵y=$\frac{1}{2}$x²+2x+1=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1，
∴顶点A（-2，-1）
（2）如图1，作AD⊥x轴于点D，BC⊥x于点C，
由（1）得AD=1，OD=2，OA=$\sqrt{5}$
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADO=∠OCB=90°，
∵OB⊥OA，
∴∠AOD=∠OBC，
∴△AOD∽△OBC，
∴$\frac{BC}{OD}=\frac{OB}{OA}$，即$\frac{BC}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
∴BC=4，同理可得OC=2，
∴B（2，-4），
∴抛物线C₂：y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-4，
即y=$\frac{1}{2}$x²-2x-2；
（3）设Q（m，n），如图2，在平行四边形QPBO中，
由于对角线平分平行四边形，
∴n=4，可得$\frac{1}{2}$m²+2m+1=4或$\frac{1}{2}$m²-2m-2=4，
∴m=-2±$\sqrt{10}$或-2或6，
当m=-2时，Q，O，B三点共线，因而不符合条件．
∴Q₁（-2-$\sqrt{10}$，4），Q₂（-2+$\sqrt{10}$，4），Q₃（6，4）．

点评本题主要考查了二次函数的综合运用，考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理与二次函数结合问题，具有较强的数形结合能力是解决问题的关键．

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