Question

11．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，弦CD⊥AB于E，CF∥DA，DE=2$\sqrt{3}$，AO-OE=2，证明四边形AFCD是菱形，并求点O到FC的距离．

Answer 1

分析 连结OC、AC，如图，根据垂径定理得CE=DE=2$\sqrt{3}$，则利用线段垂直平分线定理得AC=AD，设⊙O的半径为r，则OE=2-r，OC=r，在Rt△OCE中根据勾股定理得（r-2）²+（2$\sqrt{3}$）²=r²，解得r=4，即OE=2，OC=4，所以∠OCE=30°，∠COE=60°，根据圆周角定理得∠CAD=∠COB=60°，于是可判断△ACD为等边三角形得到AD=CD，由四边形AFCD为平行四边形，于是可判断四边形AFCD是菱形；然后OC⊥CF，得到点O到FC的距离等于OC的长．

解答 解：连结OC、AC，如图，
∵CD⊥AB于E，
∴CE=DE=2$\sqrt{3}$，
∴AC=AD，
设⊙O的半径为r，则OE=2-r，OC=r，
在Rt△OCE中，∵OE²+CE²=OC²，
∴（r-2）²+（2$\sqrt{3}$）²=r²，解得r=4，
∴OE=2，OC=4，
∴∠OCE=30°，∠COE=60°，
∴∠CAD=∠COB=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O的切线，
∴AB⊥AB，
∴AF∥CD，
而CF∥DA，
∴四边形AFCD为平行四边形，
而CD=AD，
∴四边形AFCD是菱形；
∵△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∴∠ACD=120°，
而∠OCE=30°，
∴∠FCO=90°，
∴OC⊥CF，
∴点O到FC的距离等于OC的长，即点O到FC的距离为4．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了菱形的判定与性质和勾股定理．