Question

6．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，M为⊙O上一点，OM⊥BC，垂足为E，点C在BD的延长线上，连接CA，∠CAD=∠CBA
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若∠DOA=60°，AC=2$\sqrt{6}$，求ME的长．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，得到∠B+∠DAB=90°，等量代换得到∠CAD+∠DAB=90°，于是得到∠CAB=90°，结论即可得出；
（2）由于OA=OD，∠DOA=60°，得到△ADO是等边三角形，解直角三角形求得AC=2$\sqrt{6}$，得到AD=3$\sqrt{2}$，于是求得OD=OM=AD=3$\sqrt{2}$，由于∠B=∠ODE=30°于是得到结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠DAB=90°，
∵∠CAD=∠CBA，
∴∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）∵OA=OD，∠DOA=60°，
∴△ADO是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠CAD=30°，
∵AC=2$\sqrt{6}$，
∴AD=3$\sqrt{2}$，
∴OD=OM=AD=3$\sqrt{2}$，
∵∠CAD=30°，
∴∠B=∠ODE=30°
∵OM⊥BC，
∴OE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴EM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．