Question

16．如图，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，点F为BE的中点．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）求证：CD²=CE•CB；
（3）若CE=4，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）先连接BD，利用圆周角定理求得BD⊥AE，然后根据三角形斜边的性质求得DF=BF，然后根据等腰三角形的性质即可证得∠ODF=90°；
（2）根据直角三角形两锐角互余和等腰三角形的性质求得∠CDB=∠CED，进而得出△CDE∽△CBD，再根据相似三角形的性质即可得出答案．
（3）先求得△CDF∽△CBO，再根据相似三角形的性质求得2DF=CD，再结合（2）求得的结论即可求得DF的长．

解答 解：（1）连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∵点F为BE的中点，
∴DF=BF，
∴∠BDF=∠DBF，
∴OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB+∠BDF=∠OBD+∠DBF，
即∠ODF=∠OBF，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF为⊙O的切线；

（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠A=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DEB+∠A=90°，
∴∠DEB=∠OBD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠DEB，
∴∠CDB=∠CED，
∵∠DCB=∠ECD，
∴△CDE∽△CBD，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴CD²=CE•CB；

（3）∵∠CDF=∠CBO=90°，
∠DCF=∠OCB，
∴△CDF∽△CBO，
∴$\frac{DF}{BO}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{BO}{CB}$，
∵AB=BC，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{BO}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴2DF=CD，
∵CD²=CE•CB，BE=2DF，
∴（2DF）²=CE（CE+2DF），
∴4DF²=4（4+2DF），
解得DF=$\sqrt{5}$-1．

点评 此题主要考查了圆的切线性质与判定、圆周角定理性质及三角形相似的判定等知识，熟练根据相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．