Question

【题目】探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得
EF=BE+DF，请写出推理过程；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；

（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2 ，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，

即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

②解：∠B+∠D=180°，

理由是：

把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，

∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴C、D、G在一条直线上，

和①知求法类似，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

故答案为：∠B+∠D=180°；

（2）

解：∵△ABC中，AB=AC=2 ，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC= = =4，

把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．

则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，

∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

在△FAD和△EAD中

∴△FAD≌△EAD，

∴DF=DE，

设DE=x，则DF=x，

∵BC=1，

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，

∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，

∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，

x2=（3﹣x）2+12，

解得：x= ，

即DE= ．

【解析】（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；②根据旋转的性质得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和旋转的性质，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．