Question

9．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），且与y轴相交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；
（2）求∠CAD的正弦值；
（3）设点P在线段DC的延长线上，且∠PAO=∠CAD，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=-x²+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），求得m和n的值即可；
（2）根据A，C，D三点的坐标，求得CD=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{5}$，得到CD²+AC²=AD²，根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，据此求得∠CAD的正弦值；
（3）先求得直线CD为y=x+3，再设点P的坐标为（a，a+3），然后分两种情况进行讨论：当点P在x轴上方时，过点P作PE⊥x轴于E；当点P在x轴下方时，过点P作PF⊥x轴于F，分别判定△ACD∽△AEP，△ACD∽△AFP，列出比例式求得a的值即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-9+3m+n}\\{m+1=-{m}^{2}+{m}^{2}+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3，顶点D的坐标为（1，4）；

（2）如图所示，在y=-x²+2x+3中，当x=0时，y=3，
∴C（0，3）
∵A（3，0），D（1，4），
∴CD=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{5}$，
∴CD²+AC²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴sin∠ACD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$；

（3）∵直线CD经过C（0，3），D（1，4），
∴设可设直线CD为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{4=k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线CD为y=x+3，
设点P的坐标为（a，a+3），
①如图所示，当点P在x轴上方时，过点P作PE⊥x轴于E，则
PE=a+3，AE=3-a，
∵∠AEP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，
∴△ACD∽△AEP，
∴$\frac{PE}{DC}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{a+3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3-a}{3\sqrt{2}}$，
解得a=-$\frac{3}{2}$，
∴a+3=$\frac{3}{2}$，
∴此时P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
②如图所示，当点P在x轴下方时，过点P作PF⊥x轴于F，则
PF=-（a+3），AF=3-a，
∵∠AFP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，
∴△ACD∽△AFP，
∴$\frac{PF}{DC}$=$\frac{AF}{AC}$，即$\frac{-a-3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3-a}{3\sqrt{2}}$，
解得a=-6，
∴a+3=-3，
∴此时P的坐标为（-6，-3）；
综上所述，点P的坐标为$（{-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}}），（{-6，-3}）$．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理的逆定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解这类问题关键是作辅助线构造相似三角形，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．