Question

【题目】如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，

（1）求该二次函数的关系式；
（2）若点A的坐标是（6，﹣3），求△ANO的面积；
（3）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①证明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函数的顶点坐标为（4，﹣4），

∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣4）2﹣4，

又二次函数过（0，0），

∴0=a（0﹣4）2﹣4，解得：a= ，

∴二次函数解析式为y= （x﹣4）2﹣4= x2﹣2x

（2）

解：设直线OA的解析式为y=kx，将A（6，﹣3）代入得﹣3=6k，解得k=﹣ ，

∴直线OA的解析式为y=﹣ x，

把x=4代入y=﹣ x得y=﹣2，

∴M（4，﹣2），

又∵点M、N关于点P对称，

∴N（4，﹣6），

∴MN=4，

∴S△ANO= ×6×4=12

（3）

解：①证明：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：

设A（m， m2﹣2m），又O（0，0），

∴直线AO的解析式为y= x=（ m﹣2）x，

则M（4，m﹣8），N（4，﹣m），H（4， m2﹣2m），

∴OD=4，ND=m，HA=m﹣4，NH=ND﹣HD= m2﹣m，

在Rt△OND中，tan∠ONM= = ，

在Rt△ANH中，tan∠ANM= = = = ，

∴tan∠ONM=tan∠ANM，

则∠ANM=∠ONM；

②△ANO能为直角三角形，理由如下：

分三种情况考虑：

（i）若∠ONA为直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，

∴△AHN为等腰直角三角形，

∴HA=NH，即m﹣4= m2﹣m，

整理得：m2﹣8m+16=0，即（m﹣4）2=0，

解得：m=4，

此时点A与点P重合，故不存在A点使△ONA为直角三角形；

（ii）若∠AON为直角，根据勾股定理得：OA2+ON2=AN2，

∵OA2=m2+（ m2﹣2m）2，ON2=42+m2，AN2=（m﹣4）2+（ m2﹣2m+m）2，

∴m2+（ m2﹣2m）2+42+m2=（m﹣4）2+（ m2﹣2m+m）2，

整理得：m（m2﹣8m﹣16）=0，

解得：m=0或m=4+4 或4﹣4 （舍去），

当m=0时，A点与原点重合，故∠AON不能为直角，

当m=4+4 ，即A（4+4 ，4）时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角；

（iii）若∠NAO为直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，

∴△AMN∽△DMO，

又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，

∴△AMN∽△DON，

∴△AMN∽△DMO∽△DON，

∴ = ，即 = ，

整理得：（m﹣4）2=0，

解得：m=4，

此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，

综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO能为直角三角形，当m=4+4 ，即A（4+4 ，4）时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角

【解析】（1）由二次函数的顶点坐标，设出二次函数的顶点式，再由二次函数过原点，将原点坐标代入设出的解析式中，确定出a的值，即可求出二次函数的解析式；（2）首先通过求出OA直线方程求出M点的坐标，再通过对称性求出N点的坐标，进而求出MN的长度，△ANO的面积可以通过A点的横坐标长度和MN的长度计算得到；（3）①过A作AH垂直于直线l，直线l与x轴交于点D，由A在二次函数图象上，设A横坐标为m，将x=m代入二次函数解析式，表示出纵坐标，确定出A的坐标，再由O的坐标，表示出直线AO的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ANM，化简后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得证；
②△ANO不能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若∠ONA为直角，由①得到∠ANM=∠ONM=45°，可得出三角形AHN为等腰直角三角形，得到AH=HN，将表示出的AH及HN代入，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为0或4± ，进而得到此时A与P重合，不合题意，故∠ONA不能为直角；若∠AON为直角，利用勾股定理得到OA2+ON2=AN2 ， 由A的坐标，利用勾股定理表示出OA2 ， 由OD及DN，利用勾股定理表示出ON2 ， 由AH及HN，利用勾股定理表示出AN2 ， 代入OA2+ON2=AN2 ， 得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4±4 或0，然后判断∠AON是否为直角；若∠NAO为直角，则有△AMN∽△DMO∽△DON，由相似得比例，将各自的值代入得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4，此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能为直角三角形．