Question

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC；
（2）若∠CEF=75°，CF=1+

3

，求△AEF的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）连接PC．根据直角三角形的性质可得PC=

1

2

EF=PA．运用“SSS”证明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；
（2）利用△EAF是等腰直角三角形，求得∠AEB=60°，利用特殊角的三角函数设BE=x，表示出AB，进一步表示出CF解决问题．

解答：（1）证明：连接PC．

∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠ABE=∠ADF BE=DF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中点，
∴PA=

1

2

EF，PC=

1

2

EF，
∴PA=PC．
在△PAD和△PCD中，

PA=PC AD=CD PD=PD

，
∴△PAD≌△PCD（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）由（1）可知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠AEB=180°-45°-75°=60°，
设BE=x
∴AB=

3

x，CF=（

3

+1）x，
又∵CF=

3

+1，
则

3

+1=（

3

+1）x
解得x=1
∴AE=2，
∴S△AEF=

1

2

×2×2=2．

点评：此题考查正方形、特殊直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，综合性较强．