Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE

（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）求证：直线DE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠BDC=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠BDC，

又∵∠B=∠B，

∴△BCD∽△BAC；

（2）

证明：连结DO，如图，

∵∠BDC=90°，E为BC的中点，

∴DE=CE=BE，

∴∠EDC=∠ECD，

又∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，

∴DE⊥OD，

∴DE与⊙O相切．

【解析】（1）根据AC为⊙O的直径，得出△BCD为Rt△，通过已知条件证明△BCD∽△BAC即可；
（2）连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC=90°，E为BC的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．