Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，﹣3)，对称轴为x＝1，点D与C关于抛物线的对称轴对称．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点P是抛物线上的一点，当△ABP的面积是8时，求出点P的坐标；

（3）点M为直线AD下方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，当m为何值时，△ADM的面积最大？并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，D(2，﹣3)；（2）P(1﹣2，4)或(1+2，4)或(1，﹣4)；（3）m＝时，△AMD的最大值为

【解析】

（1）由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，求出b的值，再由点C的坐标求出c的值即可；

（2）先求出点A，点B的坐标，设点P的坐标为(s，t)，因为△ABP的面积是8，根据三角形的面积公式可求出t的值，再将t的值代入抛物线解析式即可；

（3）求出直线AD的解析式，过点M作MN∥y轴，交AD于点N，则点M的坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，点N的坐标为(m，﹣m﹣1)，用含m的代数式表示出△AMN的面积，配方后由二次函数的性质即可得出结论．

（1）∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，

∴1，

∴b﹣=2．

∵抛物线与y轴交于点C(0，﹣3)，

∴c=﹣3，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，

∴抛物线的对称轴为直线x=1．

∵点D与C关于抛物线的对称轴对称，

∴点D的坐标为(2，﹣3)；

（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)，

∴AB=3﹣(﹣1)=4，

设点P的坐标为(s，t)．

∵△ABP的面积是8，

∴AB|yP|=8，

即4|t|=8，

∴t=±4，

①当t=4时，s2﹣2s﹣3=4，

解得：，s1=，s2=，

∴点P的坐标为(，4)或(，4)；

②当t=﹣4时，s2﹣2s﹣3=﹣4，

解得：，s1=s2=1，

∴点P的坐标为(1，﹣4)；

综上所述：当△ABP的面积是8时，点P的坐标为(，4)或(，4)或(1，﹣4)；

（3）设直线AD的解析式为y=kx+b1，

将A(﹣1，0)，D(2，﹣3)代入y=kx+b1，

得：，

解得：，

∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1，

过点M作MN∥y轴，交AD于点N．

∵点M的横坐标是m(﹣1＜m＜2)，

∴点M的坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，点N的坐标为(m，﹣m﹣1)，

∴MN=﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+m+2，

∴S△AMD=S△AMN+S△DMN

MN(m+1)MN(2﹣m)

MN

(﹣m2+m+2)

(m)2，

∵0，﹣12，

∴当m时，S△AMD，

∴当m时，△AMD的最大值为．