Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝，则的值是　 　；

（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；

（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，当CD＝6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值不变化，值为，理由见解析；（3）

【解析】

（1）由平行线分线段成比例定理即可得出答案；

（2）证明△ABD∽△ACE，得出＝＝

（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则DM＝CN，DN＝MC，由三角函数定义得出＝，＝，得出＝，求出AE＝AD＝，DE＝AE＝，得出CE＝CD﹣DE＝，由勾股定理得出AC＝＝，得出BC＝AC＝

，由面积法求出CN＝DM＝，得出BN＝BC+CN＝，由勾股定理得出AM＝＝，得出DN＝MC＝AM+AC＝，再由勾股定理即可得出答案．

（1）∵DE∥BC，

∴＝＝＝；

故答案为：；

（2）的值不变化，值为；理由如下：

由（1）得：DE∥B，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝，

由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD∽△ACE，

∴＝＝；

（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图3所示：

则四边形DMCN是矩形，

∴DM＝CN，DN＝MC，

∵∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，

∴＝，＝，

∴＝，

∴AE＝AD＝×3＝，DE＝AE＝，

∴CE＝CD﹣DE＝6﹣＝，

∴AC＝＝＝

∴BC＝AC＝，

∵△ACD的面积＝AC×DM＝CD×AE，

∴CN＝DM＝＝，

∴BN＝BC+CN＝，AM＝＝＝，

∴DN＝MC＝AM+AC＝，

∴BD＝＝＝．