Question

15．如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 先证得四边形ANOM是正方形，求出AM长，根据勾股定理求得OD的长，根据解直角三角形求出即可．

解答 解：设切线AD的切点为M，切线AB的切点为N，连接OM、ON、OE，
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的周长为28，
∴AD=AB=7，∠A=90°，
∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，
∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，
∵OM=ON，
∴四边形ANOM是正方形，
∵AD和DE与圆O相切，
∴OE⊥DE，DM=DE=4，
∴AM=7-4=3，
∴OM=ON=OE=3，
在RT△ODM中，OD=$\sqrt{O{M}^{2}+D{M}^{2}}$=5，
∵OE=OM=5，
∴sin∠ODE=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出AM长和得出DE=DM．