Question

12．如图，AB是半圆O的直径，AC⊥AB，CD切半圆于点D，BF⊥AB，交AD的延长线于F，交CD的延长线于E．
（1）若∠C=80°，求∠F的度数；
（2）求证：BE=EF；
（3）若AC=6，BE=4，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）先证明AC、BF是半圆O的切线，AC∥BF，得出∠F=∠CAD，再由切线长定理得出CA=CD，BE=DE，求出∠CAD=∠CDA，即可求出∠F；
（2）连接BD，求出∠F=∠EDF，DE=EF，再由（1）中BE=DE，即可得出结论；
（3）作EG⊥AC于G，则四边形ABEG是矩形，得出AG=BE=4，EG=AB，求出CE、CG，根据勾股定理求出EG，即可得出AB．

解答 （1）解：∵AB是半圆O的直径，AC⊥AB，BF⊥AB，
∴AC、BF是半圆O的切线，AC∥BF，
∴∠F=∠CAD，
∵CD切半圆于点D，
∴CA=CD，BE=DE，
∴∠CAD=∠CDA=50°，
∴∠F=50°；
（2）证明：连接BD，如图所示：
则∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵∠EDF=∠CDA=50°，
∴∠F=∠EDF，
∴DE=EF，
∴BE=EF；
（3）解：作EG⊥AC于G，如图所示：
则四边形ABEG是矩形，
∴AG=BE=4，EG=AB，
∵AC=CD=6，DE=BE=4，
∴CE=6+4=10，CG=6-4=2，
∴EG=$\sqrt{1{0}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{6}$，
∴AB=4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；熟练掌握切线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．