Question

15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，DE⊥B于点E，连CE．
（1）如图1，已知AC=BC，AD=2CD，
①△ADE与△ABC面积之比；
②求tan∠ECB的值；
（2）如图2，已知$\frac{BC}{AC}$=$\frac{AD}{DC}$=k，求tan∠ECB的值（用含k的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）①作EH⊥AD于H，如图1，设CD=x，则AD=2x，AC=BC=3x，先证明△ADE为等腰直角三角形得到AH=HDF=HE=x，然后利用三角形面积公式计算出S_△ADE和S_△ACB，从而得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ACB}}$的值；
②在Rt△CHE中，利用正切的定义得到tan∠HEC=2，再证明∠BCE=∠HEC，所以tan∠ECB=2；
（2）作EH⊥AD于H，如图2，设CD=a，则AD=ak，BC=kAC，AC=（k+1）a，BC=（k²+k）a，利用勾股定理定理计算出AB=（k+1）$\sqrt{{k}^{2}+1}$•a，再证明△ADE∽△ABC，利用相似比得到AE=$\frac{ak}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，接着证明△AHE∽△ACB，利用相似比可得到AH=$\frac{ak}{{k}^{2}+1}$，HE=$\frac{{k}^{2}a}{{k}^{2}+1}$，则CH=$\frac{{k}^{3}+{k}^{2}+1}{{k}^{2}+1}$a，则根据正切定义得到tan∠HEC=$\frac{CH}{HE}$=$\frac{{k}^{3}+{k}^{2}+1}{{k}^{2}}$，然后证明∠BCE=∠HEC，从而得到tan∠ECB的值．

解答 解：（1）①作EH⊥AD于H，如图1，设CD=x，则AD=2x，AC=BC=3x，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
而DE⊥AB，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AH=HDF=HE=x，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$•2x•x=x²，
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$•3x•3x=$\frac{9}{2}$x²，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ACB}}$=$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{2}{x}^{2}}$=$\frac{2}{9}$；
②在Rt△CHE中，tan∠HEC=$\frac{CH}{HE}$=$\frac{2x}{x}$=2，
∵HE∥BC，
∴∠BCE=∠HEC，
∴tan∠ECB=2；
（2）作EH⊥AD于H，如图2，设CD=a，
∵$\frac{BC}{AC}$=$\frac{AD}{DC}$=k，
∴AD=ak，BC=kAC，
∴AC=（k+1）a，
∴BC=（k²+k）a，
∴AB=$\sqrt{（k+1）^{2}{a}^{2}+（{k}^{2}+k）^{2}{a}^{2}}$=（k+1）$\sqrt{{k}^{2}+1}$•a，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{ak}{（k+1）\sqrt{{k}^{2}+1}a}$=$\frac{AE}{（k+1）a}$，解得AE=$\frac{ak}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵HE∥BC，
∴△AHE∽△ACB，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{HE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{AH}{（k+1）a}$=$\frac{HE}{（{k}^{2}+k）a}$=$\frac{\frac{ak}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}{（k+1）\sqrt{{k}^{2}+1}a}$，
∴AH=$\frac{ak}{{k}^{2}+1}$，HE=$\frac{{k}^{2}a}{{k}^{2}+1}$，
∴CH=AC-AH=（k+1）a-$\frac{ak}{{k}^{2}+1}$=$\frac{{k}^{3}+{k}^{2}+1}{{k}^{2}+1}$a，
∴tan∠HEC=$\frac{CH}{HE}$=$\frac{\frac{{k}^{3}+{k}^{2}+1}{{k}^{2}+1}a}{\frac{{k}^{2}a}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{{k}^{3}+{k}^{2}+1}{{k}^{2}}$，
∵HE∥BC，
∴∠BCE=∠HEC，
∴tan∠ECB=$\frac{{k}^{3}+{k}^{2}+1}{{k}^{2}}$．

点评 本题考查了相似形的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质；通过作平行线构建相似三角形是解决问题的关键，同时学会用代数式表示线段之间的关系．