Question

14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{3}{4}$x+6与x、y轴分别交于点A、点B，将线段BA绕着B点逆时针方向旋转90°，得到线段BC．
（1）求C点的坐标；
（2）连接AC，点D为BC的中点，过D作AC的垂线EF，交AC于E，交直线AB于F，连AD．若点P为射线AD上的一动点，连接PC、PF，当点P在射线AD上运动时，PF²-PC²的值是否发生改变？若改变，请求出其范围；若不变，求出其值并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得A、B的坐标和AB的长，过C作CD垂直于y轴，设出C坐标，利用AAS得到三角形AOB与三角形BDC全等，利用全等三角形对应边相等得到两对边相等，求出m与n的值，即可确定出C坐标；
（2）如图2所示，连接CF交AP于点H，利用SAS得到三角形ABD与三角形CBF全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BAD=∠BCF，再由对顶角相等得到∠CHD=∠ABD=90°，即CH垂直于AP，利用勾股定理得到PF²-PC²=（FH²+PH²）-（CH²+PH²）=PH²-CH²，再由FH²-CH²=（DF²-DH²）-（DC²-DH²）=DF²-DC²，求出BD与DC的长，进而得到DF的长，确定出PF²-PC²的为25．

解答 解：（1）令y=0得：$\frac{3}{4}x+6=0$，解得：x=-8，
∴OA=8．
令x=0得：y=6，
∴OB=6．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
如图1所示，过C作CD⊥y轴交于点D，

依题意设C（m，n）（m＞0，n＜0），
∵AB=BC，且AB⊥BC，
∴∠BAO+∠ABO=∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠DBC，
在△AOB和△BDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDC=90°}\\{∠BAO=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD=OA，DC=OB，即6-n=8，m=6，
∴n=-2，
则C坐标为（6，-2）；
（2）不变．
理由：如图2所示，连接CF交AP于点H．

依题意得：△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴△AEF为等腰直角三角形．
∴∠BFD=45°．
∴△BDF为等腰直角三角形．
∴BF=BD．
在△ABD和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBF=90°}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBF（SAS）．
∴∠BAD=∠BCF．
∵∠ABD=∠PDC，
∴∠DHC=∠ABC=90°，即CF⊥AP．
∴PF²-PC²=（FH²+PH²）-（CH²+PH²）=PH²-CH²．
∵FH²-CH²=（DF²-DH²）-（DC²-DH²）=DF²-DC²，
∵AB=BC=10，D为BC的中点，
∴BD=DC=5．
∵△BDF为等腰直角三角形，
∴DF=$\sqrt{2}$BD=5$\sqrt{2}$，
∴PF²-PC²=DF²-DC²=25．

点评 本题主要考查的是一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．