Question

5．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F，过点A作PO的垂线AB，垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）试探究线段OA、OD、OP之间的数量关系，并加以证明．
（3）若AC=12，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）先根据切线的性质得：∠OAP=90°，再由垂径定理得：D为AB中点，由等腰三角形三线合一得：∠AOP=∠BOP，证明△OAP≌△OBP，可以得出结论；
（2）证明△AOD∽△POA，列比例式$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，可得结论；
（3）连接BE，构建直角△BEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=$\sqrt{5}$x；然后由面积法求得BD的长，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC的长；最后由余弦三角函数的定义求解．

解答 证明：（1）连接OA，
∵PA与⊙O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB中点，
∵OA=OB，
∴∠AOP=∠BOP，
在△OAP和△OBP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOP=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，
则直线PB为圆O的切线；
（2）答：OA²=OD•OP，
证明：∵OP⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∴∠AOD+∠OAD=90°，
∵∠AOD+∠APO=90°，
∴∠OAD=∠APO，
∵∠ADO=∠OAP=90°，
∴△AOD∽△POA，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，
∴OA²=OD•OP；
（3）解：连接BE，则∠FBE=90°．
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴可设BE=x，BF=2x，
则由勾股定理，得，
EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴BC=EF=$\sqrt{5}$x，
∵$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$EF•BD，
∴BD=$\frac{x•2x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
又∵AB⊥EF，
∴AB=2BD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，
Rt△ABC中，BC=$\sqrt{5}$x，
AC²+AB²=BC²，
∴12²+（$\frac{4\sqrt{5}}{5}x$）²=（$\sqrt{5}$x）²，
解得：x=4$\sqrt{5}$，
∴BC=4$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=20，
∴cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．