Question

13．已知：如图，点D是△ABC中BC边上一点，点E是AD上任意一点，且EB=EC，∠ABE=∠ACE．
（1）求证：∠BAE=∠CAE；
（2）若AB=13，BC=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由EB=EC，根据等腰三角形的性质得到∠EBD=∠ECD，而∠ABE=∠ACE，则∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定得AB=AC，有EB=EC，AE为公共边，根据全等三角形的判定易得△ABE≌△ACE，由全等的性质即可得到结论；
（2）根据三线合一可得出AD⊥BC，然后利用勾股定理求得AD的长，从而求得三角形的面积．

解答 证明：（1）∵EB=EC，
∴∠EBD=∠ECD，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ABE+∠EBD=∠ACE+∠ECD，
即∠ABD=∠ACD，
∴AB=AC，
又∵∠ABE=∠ACE，EB=EC，
∴△ABE≌△ACE，
∴∠BAE=∠CAE；

（2）∵AB=AC，∠BAE=∠CAE，BC=10，
∴AD⊥BC，BD=CD=5，
在Rt△ABD中，
∵AD²=AB²-BD²=13²-5²=144，
∴AD=12，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×12×10=60．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：三条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形的判定与性质．