Question

8．五只猴子发现了一堆桃子，为了瓜分争执了半天未能达成协议都累得睡着了．不久，第一只猴子醒了，它将桃子分成一色五份，恰剩下一个桃子，它享受了余下的这个桃子并藏好了一份又睡去了会儿．第二只猴子醒了，它把剩余的桃子重新分成一色五份，又剩下一个桃子，它吃掉余下的这个桃子藏好一份睡去了，接着，第三只，第四只，第五只猴子都照此相继进行，天亮了，五只猴子都醒了，它们发现少了的桃子但又心照不宣，为了表示公平，它们把剩余的桃子又平分成五份，说也奇怪，又恰剩下一个桃子，请你算一下，原来发现的桃子至少有几个？

Answer 1

分析 设原来有x个桃子，因为第一只猴子朝海里扔了一个，正好可以分成5堆，所以我们借给猴子4个桃子，那么正好可以分成5堆，第一个猴子就拿了其中一份（包括它吃掉的一个），但是，它并没有多得桃子，就是（x+4）×$\frac{1}{5}$=（x-1）×$\frac{1}{5}$+1，同理，第三，第四和第五；最后，剩下的桃子是（x+4）×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$=（x+4）×（$\frac{4}{5}$）⁵，这应该是个整数，进而得出（x+4）一定要能被5⁵=3125整除，求出即可．

解答 解：设原来有x个桃子，因为第一只猴子朝海里扔了一个，恰好可以分成5份，
所以我们借给猴子4个桃子，那么正好可以分成5堆，第一个猴子就拿了其中一份（包括它吃掉的一个），
但是，它并没有多得桃子，就是（x+4）×$\frac{1}{5}$=（x-1）×$\frac{1}{5}$+1，
因为它没有多得，所以剩下的桃子比原来剩下的多4个．
那么剩下的桃子同理也恰好可以分成5份，第二只猴子又拿走了一份（同样，包括它吃掉的一个），
同理，第三，第四和第五；
最后，剩下的桃子是（x+4）×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$=（x+4）×（$\frac{4}{5}$）⁵，
这应该是个整数，
所以，（x+4）一定要能被5⁵=3125整除，
所以x+4最小是3125，此时，x为3121，
即：原来发现的桃子至少有3121个．

点评 此题是应用类问题应用，属于逆向推理问题，考查学生能够运用所学知识推断一些简单的逻辑问题的能力，整除问题；审清题意，列出代数式是解本题的关键．