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【题目】请阅读下列材料,并完成相应的任务.

人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前,由我国的墨子给出圆的概念:“一中同长也.”.意思说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.

我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.

弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.

下面是弦切角定理的部分证明过程:

证明:如图①,AB与⊙O相切于点A.当圆心O在弦AC上时,容易得到∠CAB90°,所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数.

如图②,AB与⊙O相切于点A,当圆心O在∠BAC的内部时,过点A作直径AD交⊙O于点D,在上任取一点E,连接ECEDEA,则∠CED=∠CAD

任务:

(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;

(2)如图③,AB与⊙O相切于点A.当圆心O在∠BAC的外部时,请写出弦切角定理的证明过程.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析

【解析】

1)利用圆周角定理得到∠DEA90°,再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CED=∠CAD,最后利用等式的性质即可得到∠CEA=∠CAB

2)通过∠C=90°说明∠CFA+∠FAC90°,再根据同角的余角相等得到∠CAB=∠CFA即可.

解:(1)∵AD是⊙O直径,

∴∠DEA90°

AB与⊙O相切于点A

∴∠DAB90°

∴∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB,即∠CEA=∠CAB

∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数;

2)证明:如图,过点A作直径AF交⊙O于点F,连接FC

AF是直径,

∴∠ACF90°

∴∠CFA+∠FAC90°

AB与⊙O相切于点A

∴∠FAB90°

∴∠CAB+∠FAC90°

∴∠CAB=∠CFA

即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.

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进价(元/

单个售价(元/

成套售价(元/套)

茶壶

24

a

55

茶杯

4

a﹣30

备注:(1)一个茶壶和和四个茶杯配成一套(如图);

(2)利润=(售价﹣进价)×数量

(1)该商店购进茶壶和茶杯各有多少个?

(2)已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同.

①求表中a的值.

②当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时,商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售,其余按单个销售,这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元.问成套销售了多少套?

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