【题目】请阅读下列材料,并完成相应的任务.
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前,由我国的墨子给出圆的概念:“一中同长也.”.意思说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.
我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.
下面是弦切角定理的部分证明过程:
证明:如图①,AB与⊙O相切于点A.当圆心O在弦AC上时,容易得到∠CAB=90°,所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数.
如图②,AB与⊙O相切于点A,当圆心O在∠BAC的内部时,过点A作直径AD交⊙O于点D,在上任取一点E,连接EC,ED,EA,则∠CED=∠CAD.
…
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图③,AB与⊙O相切于点A.当圆心O在∠BAC的外部时,请写出弦切角定理的证明过程.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析
【解析】
(1)利用圆周角定理得到∠DEA=90°,再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CED=∠CAD,最后利用等式的性质即可得到∠CEA=∠CAB;
(2)通过∠C=90°说明∠CFA+∠FAC=90°,再根据同角的余角相等得到∠CAB=∠CFA即可.
解:(1)∵AD是⊙O直径,
∴∠DEA=90°.
∵AB与⊙O相切于点A,
∴∠DAB=90°.
∴∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB,即∠CEA=∠CAB.
∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数;
(2)证明:如图,过点A作直径AF交⊙O于点F,连接FC.
∵AF是直径,
∴∠ACF=90°.
∴∠CFA+∠FAC=90°.
∵AB与⊙O相切于点A,
∴∠FAB=90°.
∴∠CAB+∠FAC=90°.
∴∠CAB=∠CFA,
即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D为BC边上的一个动点(点D不与点B、点C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B,射线DE交AC边于点E,过点A作AF⊥AD交射线DE于点F.
(1)求证:ABCE=BDCD;
(2)当DF平分∠ADC时,求AE的长;
(3)当△AEF是等腰三角形时,求BD的长.
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【题目】绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额,绘制了如下折线统计图和扇形统计图:
设销售员的月销售额为x(单位:万元)。销售部规定:当x<16时,为“不称职”,当 时为“基本称职”,当 时为“称职”,当 时为“优秀”.根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全折线统计图和扇形统计图;
(2)求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数;
(3)为了调动销售员的积极性,销售部决定制定一个月销售额奖励标准,凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖,月销售额奖励标准应定为多少万元(结果去整数)?并简述其理由.
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【题目】如图,一个转盘被分成等分,每一份上各写有一个数字,随机转动转盘次,第一次转到的数字数字为十位数字,第二次转到的数字为个位数字,次转动后组成一个两位数(若指针停在等分线上则重新转一次)
用画树状图的方法求出转动后所有可能出现的两位数的个数.
甲、乙两人做游戏,约定得到的两位数是偶数时甲胜,否则乙胜,这个游戏公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,点A是直线AM与⊙O的交点,点B在⊙O上,BD⊥AM,垂足为D,BD与⊙O交于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.
(1)求证:AM是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
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【题目】某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售,其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个.销售方式有两种:(1)单个销售;(2)成套销售.相关信息如下表:
进价(元/个) | 单个售价(元/个) | 成套售价(元/套) | |
茶壶 | 24 | a | 55 |
茶杯 | 4 | a﹣30 | |
备注:(1)一个茶壶和和四个茶杯配成一套(如图); (2)利润=(售价﹣进价)×数量 |
(1)该商店购进茶壶和茶杯各有多少个?
(2)已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同.
①求表中a的值.
②当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时,商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售,其余按单个销售,这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元.问成套销售了多少套?
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【题目】如图1,将正方形ABCD按图1所示置于平面直角坐标系中,AD边与x轴重合,顶点B,C位于x轴上方,将直线l:y=x﹣3沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度平移,在平移的过程中,该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m,平移的时间为t秒,m与t的函数图象如图2所示,则a,b的值分别是( )
A.6,B.6,C.7,7D.7,5
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【题目】如图,O为所在圆的圆心,∠AOB=90°,点P在上运动(不与点A,B重合),AP交OB延长线于点C,CD⊥OP于点D.若OB=2BC=2,则PD的长是( )
A.B.C.D.
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