Question

12．如图，点C、D是半径为6的半圆弧$\widehat{AB}$上的三等分点，O为圆心，M、Q分别是$\widehat{AC}$、$\widehat{DB}$上的动点，点P是$\widehat{CD}$上一点，且P不与C、D重合，连接PM、PQ，作OG⊥PM于G，OH⊥PQ于H，点E、F分别在线段OG、OH上的任意两点，连接PE、PF，则△PEF周长的最小值为（　　）

• A． 6
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 先判断出ME=PE，FP=FQ，进而得出点M，E，F，Q在同一条直线时，△PEF周长最小，即可得出动点M和C重合，Q和D重合时，此时达到最小值．

解答 解：如图，连接ME，FQ，
∵OG⊥PM于G，OH⊥PQ于H，
∴ME=PE，FQ=FP，
∵△PEF周长=PE+EF+PF=ME+EF+FQ，
此时点M．，E，F，Q在同一条直线上时，△PEF周长最小，
∵M、Q分别是$\widehat{AC}$、$\widehat{DB}$上的动点，
∴点M和点C重合，点Q和点D重合时，△PEF周长最小，最小知为CD，
∵点C、D是半径为6的半圆弧$\widehat{AB}$上的三等分点，
∴CD=6，
即：点M和点C重合，点Q和点D重合时，△PEF周长最小，最小知为CD=6，

点评 此题是轴对称--最短路线问题，主要考查了线段的垂直平分线，圆的性质，解本题是找到△PEF周长的最小值时，点M，Q的位置，也是解本题的难点．