Question

如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S₁、被直线RQ扫过的图形面积为S₂，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．

（1）填空：∠AHB=　 　；AC=　   ；

（2）若S₂=3S₁，求x；

（3）设S₂=mS₁，求m的变化范围．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）90°；4。

（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2。

①当0＜x＜时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ。

∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，

∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2。

∴。∴S₂=4S₁，与题设S₂=3S₁矛盾。

∴当0＜x＜时，不存在x使S₂=3S₁。

②当≤x≤2时，

 ∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。

∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。

∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3。

∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S_△BCD=×4×1=2

∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。

∴。

又，

∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴，

∴S₁=x²，S₂=8﹣8（2﹣x）²。

∵S₂=3S₁，∴8﹣8（2﹣x）²=3·x²，解得：x₁=（舍去），x₂=2。

∴x的值为2。

（3）由（2）得：当0＜x＜时，m=4，

当≤x≤2时，∵S₂=mS₁，

∴。

∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当时，m随的增大而增大，

∴当x=时，m最大，最大值为4；当x=2时，m最小，最小值为3。

∴m的变化范围为：3≤m≤4。

【解析】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。

【分析】（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，

∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形。

∴BK=CD=，CK=BD。

∴AK=AB+BK=。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC。

∴AC=CK。∴AE=EK=AK=2=CE。

∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°

∴AC=AK•cos45°=。

（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解：当

0＜x＜时，易得S₂=4S₁≠3S1；当 ≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S₂与S₁的值，由S₂=3S₁，即可求得x的值；

（3）由（2）可得当0＜x＜ 时，m=4；当≤x≤2时，可得，化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求得m的变化范围。