【题目】是等边三角形,点是射线上的一个动点(点不与点重合),是以为边的等边三角形,过点作的平行线,分别交射线于点,连接.
(1)如图(a)所示,当点在线段上时,
①求证:;
②探究:四边形是怎样特殊的四边形?并说明理由;
(2)如图(b)所示,当点在的延长线上时,
①第(1)题中所求证和探究的两个结论是否仍然成立?(直接写出,不必说明理由)
②当点运动到什么位置时,四边形是菱形?并说明理由.
【答案】(1)①见解析,②平行四边形(2)①成立,②BC=CD
【解析】解:(1) ① ∵ △ABC和△ADE都是等边三角形,
∴ AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵ ∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD
∴ ∠EAB=∠DAC,
∴ △AEB≌△ADC. ………………………………………………………(3分)
② 四边形是平行四边形. ………………………………………(6分)
(2)(1)中的结论:
① △AEB≌△ADC,② 四边形是平行四边形,均成立. ……………………(8分)
(3)当BC=CD时,四边形BCFE是菱形.……………………………………………(9分)
理由: 由①得△AEB≌△ADC,
∴BE=BC
又∵ BE=CD,
∴ BC=CD.
由②得四边形是平行四边形,
∴ 四边形是菱形. ……………………………………………(13分)
(1)①证明:因∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=60度,所以∠EAB=∠DAC,又EA=DA,BA=CA,故△AEB≌△ADC.。②于是∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠DCA+∠ABC=120度。那么∠EBC+∠BCG=120度+60度=180度,于是EB//GC,又EG//BC,故BCGE为一平行四边形。 (2)BEGC仍为平行四边形。与(1)类似,容易证明:ΔABE全等于ΔACD,那么∠ABE=∠ACD=120度,于是∠CBE=∠ACB=60度,进而BE//GC,又BC//EG,从而得证。(3)欲使其成为菱形,只须BE=BC,又BE=CD,故只须选取D点使BC=CD即可。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(6,0),点B在y轴的正半轴上,且=240.
(1)求点B坐标;
(2)若点P从B出发沿y轴负半轴方向运动,速度每秒2个单位,运动时间t秒,△AOP的面积为S,求S与t的关系式,并直接写出t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若S△AOP:S△ABP=1:3,且S△AOP+S△ABP=S△AOB,在线段AB的垂直平分线上是否存在点Q,使得△AOQ的面积与△BPQ的面积相等?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由。
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【题目】下列命题是真命题的是( )
A.在同一平面内,两条直线的位置只有平行和垂直两种
B.两直线平行,同旁内角相等
C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.平行于同一条直线的两直线平行
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【题目】已知:如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3,则AD是 ∠BAC的平分线吗?若是说明理由.(在下面的括号内填注依据)
解:是,理由如下:
∵AD⊥BC,EG⊥BC ( 已知 ),
∴∠4=∠5=90( 垂直的定义),
∴AD‖_____( );
∴∠1=∠E ( ),
∠2=______(两直线平行,内错角相等);
∵∠E=∠3(已知),
∴∠_____=∠____(等量代换);
∴AD平分∠BAC( ).
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【题目】某中学在“助残日”举行了一次“手拉手、献爱心”的捐款活动,学校对已捐款学生人数及捐款金额情况进行了调查.图①表示的是各年级捐款人数占总捐款人数的百分比;图②是学校对学生的捐款金额情况进行抽样调查并根据所得数据绘制的统计图
(1)学校对多少名学生的捐款金额情况进行了抽样调查?
(2)这组捐款金额数据的平均数、中位数各是多少?
(3)若该校九年级共有400名学生捐款,估计全校学生捐款总金额大约多少元?
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【题目】根据下表回答问题:
x | 16 | 16.1 | 16.2 | 16.3 | 16.4 | 16.5 | 16.6 | 16.7 | 16.8 |
x2 | 256 | 259.21 | 262.44 | 265.69 | 268.96 | 272.25 | 175.56 | 278.89 | 282.24 |
(1)272.25的平方根是
(2) = , = , =
(3)设 的整数部分为a,求﹣4a的立方根.
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【题目】推理填空:
如图所示,已知∠1 = ∠2,∠B = ∠C,可推得AB∥CD,
理由如下:
∵∠1 = ∠2(已知),且∠1 = ∠4(_____________________),
∴∠2 = ∠4(等量代换).
∴CE∥BF(__________________________).
∴∠_____= ∠3(________________________)
又∵∠B = ∠C(已知),
∴∠3= ∠B(等量代换),
∴AB∥CD(_____________________________).
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【题目】如图,A、B两点同时从原点O出发,点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动,点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动.
(1)若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0,试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标;
(2)设∠BAO的外角和∠ABO的外角的平分线相交于点P,问:点A、B在运动的过程中,∠P的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理.
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