Question

【题目】如图，△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．

（1）求证：直线AC是⊙O的切线；

（2）如果∠ACB=75°，⊙O的半径为2，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）证明OC⊥AC即可．根据∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°，又∠ACD=45°，所以∠ACO=90°，得证；

（2）如果∠ACB=75°，∠ACD=30°，则∠BCD=30°．作DE⊥BC，把问题转化到解直角三角形求解，先求求DE，最后求BD得解.

（1）∵OD=OC，∠DOC=90°，∴∠ODC=∠OCD=45°.

∵∠DOC=2∠ACD=90°，∴∠ACD=45°.

∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°

∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线.

（2）∵OD=OC=2，∠DOC=90°，∴CD=2.

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，∴∠BCD=30°.

作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90°，

∴DE=DCsin30°=.

∵∠B=45°，∴DB=2.