Question

如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD交于O，AC+BD=q，求菱形ABCD的面积．（提示：利用两数和的平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²与勾股定理）

Answer 1

考点：菱形的性质,勾股定理

专题：

分析：由菱形的四边相等和菱形的周长易求菱形的边长，由勾股定理可得OA²+OB²=AB²=（

1

2

p）²=

1

4

p²，因为OA+OB=

1

2

（AC+BD）=

1

2

q，所以（OA+OB）²=

1

4

q²，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形ABCD的面积．

解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为2p，
∴AB=

1

4

p，
∴OA²+OB²=AB²=（

1

2

p）²=

1

4

p²，
∵OA+OB=

1

2

（AC+BD）=

1

2

q，
∴（OA+OB）²=

1

4

q²，
∴OA²+OB²+2OA•OB=

1

4

q²，
∴2OA•OB=

1

4

q²-

1

4

p²，
∴S_菱形ABCD=4S_△AOB=2OA•OB=

1

4

（q²-p²）．

点评：本题考查了菱形的性质，解题的关键是利用两数和的平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²与勾股定理解题．