Question

如图，已知A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，连接GH、AD，延长AD交BC于M，延长DA交EF于N，G是FD与AB的交点，H是ED与AC的交点．
（1）请写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）；
（2）问FE、GH、BC有何位置关系？试证明你的结论．

Answer 1

解：（1）本题有许多答案，例如：
①∠CAM=30°；
②FD∥AC；
③MN⊥GH；
④四边形AGDH是菱形；
⑤△AGH是等边三角形；
⑥△AGD是等腰三角形；
⑦△ABM是直角三角形；
⑧△ABC≌△DEF；
⑨△AGH∽△ABC；
⑩GH=BC；
①①整个图形是轴对称图形；
①②整个图形是中心对称图形；
说明：每写出了一个符合要求的结论给，最多给．

（2）答：FE∥GH∥BC
证明：∵D、A分别是正三角形ABC、正三角形DEF的中心
∴∠GAD=∠GDA=∠ADH=∠HAD=30°
∴AG∥DH，AH∥GD，AH=DH
∴四边形AGDH是菱形．
∴MN⊥GH
又MN⊥EF，MN⊥BC
∴FE∥GH∥BC
分析：（1）可以通过三条边都相等的三角形叫做等边三角形；等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；推论：在直角三角形中，如果有一个锐角三角形等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，列出正确结论．
（2）FE、GH、BC的位置关系，即证它们平行，还是相交，可由D、A分别是正三角形ABC、正三角形DEF的中心，证明四边形AGDH是菱形，得出MN⊥GH，根据正三角形的性质得出MN⊥EF，MN⊥BC，从而证明FE∥GH∥BC．
点评：本题综合考查平行线的判断，等边三角形的性质及菱形的判断，属于开放性试题．