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已知抛物线的顶点(-1,-4)且过点(0,-3),直线l是它的对称轴。

(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线交x轴于点A、B(A在B的左边),交y轴于点C,P为l上的一动点,当△PBC的周长最小时,求P点的坐标。
(3)在直线l上是否存在点M,使△MBC是等腰三角形,若存在,直接写出符合条件的点M的坐标;若不存在请说明理由。
(1)(2) (3)

试题分析:(1)抛物线的顶点(-1,-4),则设抛物线的顶点式为,因为抛物线过点(0,-3),所以,解得a=1,所以抛物线的解析式
(2)由(1)知抛物线的解析式
∵直线l是它的对称轴
∴它的对称轴x=-1
抛物线交x轴于点A、B(A在B的左边),令y=0,则,解得x=-3,x=1,所以A点的坐标(-3,0),B点的坐标(1,0);抛物线交y轴于点C,令x=0,则,所以C点的坐标(0,-3);P为l上的一动点,当△PBC的周长=PB+PC+BC,因为BC的长度一定,所以要使△PBC的周长最小,即PB+PC最小,作点B关于对称轴的对称点,坐标为(-3,0),即是A点,设过A、C的直线为y=kx+b,则
解得,所以过点A、C的直线为y=x-3,则P点即为直线为y=x-3与对称轴的交点,解得
(3)存在,)直线l为x=-1,它与X轴的交点为N(-1,0),由(2)知B点的坐标(1,0),所以它们两点是关于原点对称,此时这三点构成了等腰三角形,M点即为对称轴与X轴的交点,所以M的坐标(-1,0);当△MBC是等腰三角形,并以BC为△MBC的底边,设M的坐标为(-1,y);此时需满足MB=MC,而MB=,MC=,解得y=-1,y=,所以,当y=-1时M的坐标为,当y=,M的坐标为;综上所述满足条件的M的坐标为
点评:本题考查抛物线,要求考生掌握抛物线的性质,会用待定系数法求抛物线的解析式,会求抛物线与坐标轴的交点坐标,以及对称轴
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)与点(-2,6).

(1)求抛物线的函数解析式;
(2)直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D,动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动,点P的速度为每秒1个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值;
(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量(吨)与月份,且取整数)之间满足的函数关系如下表:
月份(月)
1
2
3
4
5
6
输送的污水量(吨)
12000
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月,该企业自身处理的污水量(吨)与月份,且取整数)之间满足二次函数关系式,其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用(元)与月份之间满足函数关系式,该企业自身处理每吨污水的费用(元)与月份之间满足函数关系式;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.

(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出之间的函数关系式;
(2)设该企业去年第月用于污水处理的费用为W(元),试求出W之间的函数关系式;
(3)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙与y轴正半轴交于点C,连接BC、AC,CD是⊙的切线,AD⊥CD于点D,tan∠CAD=,抛物线过A、B、C三点.

(1)求证:∠CAD=∠CAB;
(2)求抛物线的解析式;
(3)判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由.

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如图,平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与(x≥0)于B、C两点,过点C作y轴的平行线交y1于点D,直线DE∥AC,交y2于点E,则=            .

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某黄金珠宝商店,今年4月份以前,每天的进货量与销售量均为1000克,进入4月份后,每天的进货量保持不变,因国际金价大跌走熊,市场需求量不断增加.如图是4月前后一段时期库存量(克)与销售时间(月份)之间的函数图象. (4月份以30天计算)

商品名称
金 额
A
B
投资金额x(万元)
x
5
x
1
5
销售收入y(万元)
y1=kx
(k≠0)
3
y2=ax2+bx(a≠0)
2.8
10
(1)该商店   月份开始出现供不应求的现象,4月份的平均日销售量为   克?
(2)为满足市场需求,商店准备投资20万元同时购进A、B两种新黄金产品。其中购买A、B两种新黄金产品所投资的金额与销售收入存在如图所示的函数对应关系. 请你判断商店这次投资能否盈利?
(3)在(2)的其他条件不变的情况下,商店准备投资m万元同时购进A、B两种新黄金产品,并实现最大盈利3.2万元,请求出m的值.(利润=销售收入-投资金额)

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