Question

20．写出下列命题的逆命题、判断真假，并选取其中一个给予证明．
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）等腰三角形两个底角的角平分线长相等．

Answer 1

分析 （1）先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACD，∠BCD=∠B，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠B+∠A+∠ACD=180°，代入即可求出∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，即可推出答案；
（2）先写出逆命题是“有两个角的平分线相等的三角形是等腰三角形”，根据题意写出已知，求证，设这个△ABC，CD、BE分别是∠C和∠B的角平分线，过点E作∠BEF=∠BCD，使EF=BC，得到△BCD≌△FEB（SAS）根据全等三角形的性质得到∠FBE=∠BDC，BF=DB，设∠ABE=∠EBC=α，∠ACD=∠DCB=β，推出∠FBC=∠CEF＞90°，过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上．设垂足分别为G、H，根据全等三角形的性质得到CG=FH，BC=HE，连接CF，推出Rt△CGF≌△FHC，得到CE=BD，推出△BDC≌△CEB，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知，如图，△ABC中，D是AB边的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB，
求证：△ABC是直角三角形，
证明：∵D是AB边的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=BD=CD，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∵BD=CD，
∴∠BCD=∠B，
又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）逆命题是“有两个角的平分线相等的三角形是等腰三角形”．
已知：在△ABC中，BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，且BD=CE求证：△ABC是等腰三角形，
设这个△ABC，CD、BE分别是∠C和∠B的角平分线，
过点E作∠BEF=∠BCD，使EF=BC，
在△BCD与△FEB中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=EF}\\{∠BEF=∠BCD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FEB（SAS）
∴∠FBE=∠BDC，BF=DB，
设∠ABE=∠EBC=α，∠ACD=∠DCB=β，
∠FBC=∠BDC-+α=180°-2α-β+α=180°-（α+β），
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-（α+β），
∴∠FBC=∠CEF，
∵2α+2β＜180°，
∴α+β＜90°，
∴∠FBC=∠CEF＞90°，
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上．
设垂足分别为G、H，
∴∠HEF=∠CBG，
在△CGB与△FHE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FHE=∠G=90°}\\{∠FEH=∠CBG}\\{EF=BC}\end{array}\right.$，
∴△CGB≌△FHE
∴CG=FH，BC=HE，
连接CF，
在Rt△CGF与△FHC 中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{FH=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△CGF≌△FHC，
∴FG=CH，
∴BF=CE，
∴CE=BD，
在△BDC与△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CB}\\{BD=CE}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，

∴△BDC≌△CEB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 此题考查的是命题与定理，等腰三角形的性质三角形的内角和定理，全等三角形的判断和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．