Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在BC，CD边上，将△CEF沿EF翻折，点C的对应点为M．
（1）如图1，当CE=5，M点落在AD边上时，求MD的长．
（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，连接BM，若△BME是直角三角形，求此时CE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，作EN⊥AD于点N，由矩形的性质就可以得出EN=4，AN=3，由勾股定理就可以求出MN的值，进而求出结论；
（2）①如图2，当∠BME=90°时，由∠EMF=90°，就可以得出B、M、F在同一直线上，由勾股定理就可以求出BF，求出BM，在Rt△BME中由勾股定理就可以求出结论；如图3，当∠BEM=90°时，∠MEC=90°就可以得出四边形ECFM是正方形，直接得出CE的值；

解答 解：（1）如图1，作EN⊥AD于点N，
∴∠ANE=∠ENM=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，
∴∠A=∠B=∠ANE=90°，
∴AB=NE=4，AN=BE．
∵EC=5，
∴BE=3，
∴AN=3．
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，
∴EC=EM=5．
在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，
∴MD=8-3-3=2．
答：MD的长为2；
（2）①如图2，当∠BME=90°时，
∵∠EMF=90°，
∴∠BMF=180°，
∴B、M、F在同一直线上．
∵F是BC的中点，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=2．
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，
∴MF=CF=2，EC=EM．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF=2 $\sqrt{17}$．
∴BM=2 $\sqrt{17}$-2．
设EC=EM=x，则BE=8-x，
在Rt△BME中，由勾股定理，得（8-x）²-x²=（2 $\sqrt{17}$-2）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{17}-2}{2}$．
∴CE=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$；
如图3，当∠BEM=90°时，
∴∠MEC=90°
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，
∴四边形ECFM是正方形，
∴MF=CE=2．
∴CE=2或 $\frac{\sqrt{17}-1}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，正方形的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用勾股定理求解是关键．