Question

4．已知：$\frac{2}{1×3}$=1-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3×5}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5×7}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$
（1）按照上面算式的规律，请你写出$\frac{2}{2005×2007}$=$\frac{1}{2005}$-$\frac{1}{2007}$
（2）利用上面的规律计算：$\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+\frac{1}{7×10}+\frac{1}{10×13}$…$+\frac{1}{301×304}$的值$\frac{101}{304}$
（3）直接写出结果：$\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+\frac{1}{7×10}+\frac{1}{10×13}+$…$\frac{1}{{（{3n-2}）（{3n+1}）}}$=$\frac{n}{3n+1}$．

Answer 1

分析 （1）根据$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$可得；
（2）根据原式=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{301}$-$\frac{1}{304}$）求解可得；
（3）利用（2）中的规律解答即可．

解答 解：（1）根据题意得$\frac{2}{2005×2007}$=$\frac{1}{2005}$-$\frac{1}{2007}$，
故答案为：$\frac{1}{2005}$-$\frac{1}{2007}$；

（2）原式=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{301}$-$\frac{1}{304}$）
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{304}$）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{303}{304}$
=$\frac{101}{304}$，
故答案为：$\frac{101}{304}$；

（3）由（2）知，原式=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，熟练掌握裂项求和的方法是解题的关键．