Question

已知函数y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．

Answer 1

分析：将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为x=

a2-1

a+2

=(a-2)+

3

a+2

，因0＜

3

a+2

≤1，a-2＜

a2-1

a+2

≤a-1，故函数的最小值只可能在x取a-2，

a2-1

a+2

时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．

解答：解：∵y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，
∴y=（a+2）(x-

a2-1

a+2

)2+1-

(a2-1)2

a+2

，其对称轴为x=

a2-1

a+2

=(a-2)+

3

a+2

，
因为a为正整数，故因0＜

3

a+2

≤1，a-2＜

a2-1

a+2

≤a-1，
因此，函数的最小值只能在x取a-2，a-1，

a2-1

a+2

时达到，
（1）当a-1=

a2-1

a+2

时，a=1，此时，x=1使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；
（2）a-2＜

a2-1

a+2

＜a-1时，即a＞1时，由于x是正整数，而

a2-1

a+2

为小数，故x=

a2-1

a+2

不能达到最小值，
当x=a-2时，y₁=（a+2）（a-2）²-2（a²-1）（a-2）+1，
当x=a-1时，y₂=（a+2）（a-1）²-2（a²-1）（a-1）+1，
又y₁-y₂=4-a，
①当4-a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a-1，使y₂为最小值；
②当4-a=0时，即a=4时，有y₁=y₂，此时x取2或3；
③当4-a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a-2，使y₁为最小值；
综上，x=

a-1，1＜a＜4时 2或3，a=4时 a-2，当a＞4时

（其中a为整数）．

点评：本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是用分类讨论的思想进行解题．