Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）当点Q在BC边上运动时，是否存在x，使得以△PBQ的一个顶点为圆心作圆时，另外两个顶点均在这个圆上？若存在，求出x的值；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得AC=8，BC=6，当点Q在BC上时，如图1所示：过点Q作QD⊥AB，垂足为D，从而可知：QD=$\frac{4}{5}$QB=$\frac{8}{5}x$，PB=10-x，然后利用三角形的面积公式得到y与x的函数关系；当点Q在AC上时，如图2所示：过点Q作QD⊥AB，垂足为D，则QD=$\frac{3}{5}$AQ=$\frac{3}{5}$（14-2x），然后利用三角形的面积公式得到y与x的函数关系；
（2）当x=5时，可证明PQ为△ABC的中位线，从而可证明PQ是AC的垂直平分线，当点M与P重合时，△BCM的周长最小；
（3）由题意得△PBQ为等腰三角形，然后根据PQ=PB时、BQ=BP时、当QP=QB时分别画出图形进行计算即可．

解答 解：（1）①如图1所示：过点Q作QD⊥AB，垂足为D．

设AC=4k，BC=3k（k＞0），由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，即（3k）²+（4k）²=100
解得：k=2．
∴AC=8，BC=6．
∴sin∠CBA=$\frac{4}{5}$．
设点P的运动时间为x（秒），则QB=2x，AP=x，BP=10-x．
∵QD⊥AB，
∴QD=$\frac{4}{5}$QB=$\frac{8}{5}x$．
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}PB•QD$=$\frac{1}{2}×（10-x）×\frac{8x}{5}$．
∴y=-$-\frac{4}{5}$x²+8x（0＜x≤3）
②如图2所示：过点Q作QD⊥AB，垂足为D．

根据题意可知：AQ=14-2x，PB=10-x．
∵QD⊥BA，
∴QD=$\frac{3}{5}$AQ=$\frac{3}{5}$（14-2x）．
∴${S}_{△QPB}=\frac{1}{2}PB•QD$=$\frac{1}{2}×（10-x）×\frac{3}{5}（14-2x）$=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{51}{5}x+42$（3＜x＜7）．
∴y=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{51}{5}x+42$（3＜x＜7）．
综上所述，y与x的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{5}{x}^{2}+8x（0＜x≤3）}\\{\frac{3}{5}{x}^{2}-\frac{51}{5}x+42（3＜x＜7）}\end{array}\right.$．
（2）存在．
理由：如图③所示：

∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，
∵AC=8，AB=10，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ∥AB，
∴PQ⊥AC．
∴PQ是AC的垂直平分线，
∴PC=AP=5，
∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小．
∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．
∴△BCM的周长最小值为16．
（3）由题意得△PBQ为等腰三角形．
①如图4所示：PQ=PB时，过点P作PD⊥BC，垂足为D．

∵PQ=PB，PD⊥QB，
∴BD=$\frac{1}{2}$QB=x．
∴$\frac{PB}{BD}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{10-x}{x}=\frac{10}{6}$．
解得：x=$\frac{15}{4}$＞3（舍去）．
②如图5所示；BQ=BP时．

∵QB=2x，PB=10-x，
∴2x=10-x．
解得；x=$\frac{10}{3}$＞3（舍去）．
③如图6所示：当QP=QB时，过点Q作QD⊥PB，垂足为D．

∵QP=PB，QD⊥PB，
∴PD=BD=$\frac{1}{2}（10-x）$=5-$\frac{1}{2}x$．
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{QB}{AB}$，即$\frac{5-\frac{1}{2}x}{6}=\frac{2x}{10}$．
解得：x=$\frac{50}{17}$．
综上所述，存在满足题意得x，此时x=$\frac{50}{17}$．

点评 本题主要考查的是求函数的关系式、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的中位线定理，分类讨论是解题的关键．