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【题目】如图,在中,,垂足为,点是边上的一个动点,过点交线段于点,作于点,交线段于点,设

1)用含的代数式表示线段的长;

2)设的面积为,求之间的函数关系式,并写出定义域;

3能否为直角三角形?如果能,求出的长;如果不能,请说明理由.

【答案】1;(2,定义域为:;(3)当BP为时,为直角三角形.

【解析】

1)根据等腰三角形的性质可得BD=CD=3,通过证明△ABD∽△GBP,可得,即可得出DG的长度;

2)根据相似三角形的性质可得,根据三角形的面积公式即可表达出;

3)分EFPGEFPF两种情况,根据相似三角形的性质即可求出BP的长度.

解:(1)∵

BD=CD=3

RtABD中,

∵∠B=∠B,∠ADB=∠BPG=90°

∴△ABD∽△GBP

2)∵PFAC

∴△BFP∽△BCA

∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD

∴∠DEG=∠ABD,∠ADG=∠ADB=90°

∴△DEG∽△DBA

整理得:

定义域为:

3)若EFPG时,

EF⊥PGED⊥FG

∴∠FED+∠DEG=90°,∠FED+∠EFD=90°

∠DEG=∠EFD,且∠EDF=∠EDG

∴△EFD∽△GDE

整理得:

解得:(不合题意,舍去),

EF⊥PF

∴∠PFB+∠EFD=90°,且∠PFB=∠ACB,∠ACB+∠DAC=90°

∠EFD=∠DAC,且∠EDF=∠ADC=90°

∴△EDF∽△CDA

解得:

综上所述,当BP时,为直角三角形.

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A. B. C. D.

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