Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（0，1），与x轴的一个交点B的坐标为（2，0），点P在抛物线上，其横坐标为2n（0＜n＜1），作PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D
（1）求抛物线的解析式；
（2）用n的代数式表示CD、PD的长，并通过计算说明与的大小关系；
（3）若将原题中“0＜n＜1”的条件改为“n＞1”，其他条件不变，请通过计算说明（2）中结论是否仍然成立？

Answer 1

解：（1）如上图
∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（0，1），经过（2，0）点
∴y=ax²+1
又4a+1=0
解得a=-
∴抛物线的解析式为y=-x²+1；（ 2分）

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b
∵A（0，1）B（2，0）
∴
解得
∴直线AB的解析式为y=-+1 3分
∵点P的坐标为（2n，1-n²），且点P在第一象限．
又∵PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D
∴x_D=OC=2n，y_D=-×2n+1=1-n，且点D在第一象限
∴CD=1-n
PD=y_P-y_D=n（1-n）
∵0＜n＜1
∴
∵
∴；

（3）当n＞1时，P、D两点在第四象限，且P点在D点的下方（如图），
y_D＞y_Y点P的坐标为（2n，1-n²）
∵x_D=OC=2n
∴y_D=-×2n+1=1-n
∵D点在第四象限
∴CD=y_D=1-n
PD=y_P-y_D=n（n-1）
∵n＞1
∴
∵
∴仍然成立．
分析：（1）根据题意把点A（0，1），（2，0）代入解析式求解即可得到y=-x²+1；
（2）先利用待定系数法解得直线AB的解析式为y=-+1，再根据点P的坐标为（2n，1-n²），求出CD=1-n，PD=y_P-y_D=n（1-n），从而得到=；
（3）利用同样的方法可求得CD=y_D=1-n，PD=y_P-y_D=n（n-1），所以代入到与，得到=．
点评：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．