【题目】如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,在Rt△PFE中,∠EPF=90°,点E、F分别在边AD、AB上.
(1)如图1,若点P与点O重合:①求证:AF=DE;②若正方形的边长为2,当∠DOE=15°时,求线段EF的长;
(2)如图2,若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合),当BD=3BP时,证明:PE=2PF.
【答案】(1)①证明见解析,②;(2)证明见解析.
【解析】
(1)①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得:△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明;
②作OG⊥AB于G,根据余弦的概念求出OF的长,根据勾股定理求值即可;
(2)首先过点P作HP⊥BD交AB于点H,根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系.
(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OD,∠OAF=∠ODE=45°,∠AOD=90°,
∴∠AOE+∠DOE=90°,
∵∠EPF=90°,
∴∠AOF+∠AOE=90°,
∴∠DOE=∠AOF,
在△AOF和△DOE中,
,
∴△AOF≌△DOE,
∴AF=DE;
②解:过点O作OG⊥AB于G,
∵正方形的边长为2,
∴OG=BC=
,
∵∠DOE=15°,△AOF≌△DOE,
∴∠AOF=15°,
∴∠FOG=45°-15°=30°,
∴OF==2,
∴EF=;
(2)证明:如图2,过点P作HP⊥BD交AB于点H,
则△HPB为等腰直角三角形,∠HPD=90°,
∴HP=BP,
∵BD=3BP,
∴PD=2BP,
∴PD=2HP,
又∵∠HPF+∠HPE=90°,∠DPE+∠HPE=90°,
∴∠HPF=∠DPE,
又∵∠BHP=∠EDP=45°,
∴△PHF∽△PDE,
∴,
∴PE=2PF.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图像与边长是6的正方形
的两边
,
分别相交于
,
两点.
(1)若点是
边的中点,求反比例函数
的解析式和点
的坐标;
(2)若,求直线
的解析式及
的面积
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【题目】如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A(3,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(4,t).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)在直线OB下方的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积最大,求点C的坐标;
(3)如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A(-1,0)和点B,与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C(1,n).
(1)求k的值;
(2)求反比例函数的解析式;
(3)过x轴上的点D(a,0)作平行于y轴的直线l(a>1),分别与直线AB和双曲线y=交于点P、Q,且PQ=2QD,求点D的坐标.
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【题目】在△ABC中,BC=a.作BC边的三等分点C1,使得CC1:BC1=1:2,过点C1作AC的平行线交AB于点A1,过点A1作BC的平行线交AC于点D1,作BC1边的三等分点C2,使得C1C2:BC2=1:2,过点C2作AC的平行线交AB于点A2,过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2;如此进行下去,则线段AnDn的长度为______________.
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【题目】“端午节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“粽子”的习俗。我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽(咸)、豆沙馅粽(甜)、红枣馅粽(甜)、蛋黄馅粽(咸)(以下分别用表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调查,并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)。请根据以上信息回答:
(1)本次参加抽样调查的居民有多少人?
(2)将两幅不完整的图补充完整;
(3)若居民区有7000人,请估计爱吃A粽的人数;
(4)若有外型完全相同的粽各一个,煮熟后,小王吃了两个。用列表或画树状图的方法,求他吃到的两个粽子都是甜味的概率。
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【题目】如图,抛物线交
轴于点
、
,(
左
右),交y轴于点C,△AOC的周长为12,sin∠CBA=
,则下列结论:①A点坐标(-3,0);②a=
;③点B坐标(8,0);④对称轴x=
.其中正确的有( )个.
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【题目】某手机店销售部
型和
部
型手机的利润为
元,销售
部
型和
部
型手机的利润为
元.
(1)求每部型手机和
型手机的销售利润;
(2)该手机店计划一次购进,
两种型号的手机共
部,其中
型手机的进货量不超过
型手机的
倍,设购进
型手机
部,这
部手机的销售总利润为
元.
①求关于
的函数关系式;
②该手机店购进型、
型手机各多少部,才能使销售总利润最大?
(3)在(2)的条件下,该手机店实际进货时,厂家对型手机出厂价下调
元,且限定手机店最多购进
型手机
部,若手机店保持同种手机的售价不变,设计出使这
部手机销售总利润最大的进货方案.
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【题目】用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框(不计损耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为3m2(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为xm,下列方程符合题意的是( )
A. B.
C. =3D.
=3
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