Question

【题目】如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β

（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；

（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；

（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）120°； （2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.

【解析】

（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及α+β=120°推导即可；

（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=(α+β)，在△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；

（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBE+∠CDH=(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入∠CBE+∠CDH=(α+β)计算即可得出一组内错角相等．

（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），

∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°

∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，

∵α+β=120°，

∴∠MBC+∠NDC=120°；

（2）β﹣α=60°

理由：如图1，连接BD，

由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBG=∠MBC，∠CDG=∠NDC，

∴∠CBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，

在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，

在△BDG中， ∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，

∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，

∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，

∴(α+β)+180°﹣β+30°=180°，

∴β﹣α=60°，

(3)平行，

理由：如图2，延长BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，

∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，

∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，

∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，

∴∠CBE+β﹣∠DHB=(α+β)，

∵α=β，

∴∠CBE+β﹣∠DHB=(β+β)=β，

∴∠CBE=∠DHB，

∴BE∥DF．