Question

【题目】如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.

(1)当BC＝1时，求线段OD的长；

(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

(3)设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）OD= （2）DE=，长度不变（3）y=（0＜x＜）

【解析】试题分析：（1）根据OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长；

（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据D和E是中点可得出DE=；

（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，DF=，EF=x即可得出结论．

试题解析：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；

（2）如图（2），存在，DE是不变的．

连接AB，则AB==2，

∵D和E分别是线段BC和AC的中点，

∴DE=AB=；

（3）如图（3），连接OC，

∵BD=x，

∴OD=，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠2+∠3=45°，

过D作DF⊥OE．

∴DF==，由（2）已知DE=，

∴在Rt△DEF中，EF==，

∴OE=OF+EF=+=

∴y=DFOE=

=（0＜x＜）．