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【题目】如图,已知ADABC的外角EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DAABC的外接圆于点F,连接FBFC

1)求证:FBC=FCB

2)已知FAFD=12,若ABABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)CD=

【解析】试题分析:(1)由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD,再由角平分线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD,由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB,即可得出结论;

(2)由(1)得:∠FBC=∠FCB,由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC,由公共角∠BFA=∠BFD,证出△AFB∽△BFD,得出对应边成比例求出BF,得出FD、AD的长,由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°,由三角函数求出∠FBA=30°,再由三角函数求出CD的长即可.

试题解析:(1)∵四边形AFBC内接于圆,

∴∠FBC+∠FAC=180°,

∵∠CAD+∠FAC=180°,

∴∠FBC=∠CAD

AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,

∴∠EAD=∠CAD

∵∠EAD=∠FAB

∴∠FAB=∠CAD

又∵∠FAB=∠FCB

∴∠FBC=∠FCB

(2)由(1)得:∠FBC=∠FCB

又∵∠FCB=∠FAB

∴∠FAB=∠FBC

∵∠BFA=∠BFD

∴△AFB∽△BFD,

BF2=FAFD=12,

BF=2

FA=2,

FD=6,AD=4,

AB为圆的直径,

∴∠BFA=∠BCA=90°,

∴tan∠FBA=

∴∠FBA=30°,

又∵∠FDB=∠FBA=30°,

CD=ADcos30°=4×

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租金(单位:元/台时)

挖掘土石方量(单位:m3/台时)

甲型挖掘机

100

60

乙型挖掘机

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