Question

13．在直角坐标系中点O是坐标原点已知等腰△AOB，AO=AB，底边上的高为2，A是第一象限点，B（4，0）．
（1）请在一个平面直角坐标系画出等腰△AOB，并求出∠OAB的度数；
（2）直线y=$\frac{1}{2}$x+m分别与等腰△AOB的两腰AO，AB交于点M、N，求出m的取值范围，若四边形OBNM的面积为-$\frac{3}{4}$m²+4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得A（2，2），从而求得OC=AC=BC，得出∠AOB=∠OAC=∠ABO=∠CAB=45°，即可求得∠OAB=90°；
（2）根据待定系数法求得直线OA和直线AB的解析式，分别与直线y=$\frac{1}{2}$x+m联立方程求得M、N的坐标，然后设直线MN与x轴的交点为G，根据S_{四边形OBNM}=S_△BGN-S_△OMG=-$\frac{3}{4}$m²+4，得出$\frac{1}{2}$×（4+2m）（$\frac{2}{3}$m+$\frac{4}{3}$）-$\frac{1}{2}$×2m×2m=-$\frac{3}{4}$m²+4，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵AO=AB，底边上的高为2，A是第一象限点，B（4，0）．
∴A（2，2），
作AC⊥OB于C，
∴OC=AC=BC
∴∠AOB=∠OAC=∠ABO=∠CAB=45°，
∴∠OAB=90°；
（2）∵A（2，2），B（4，0），
∴直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=-x+4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2m}\\{y=2m}\end{array}\right.$，
∴M（2m，2m），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}（4-m）}\\{y=\frac{2}{3}m+\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{2}{3}$（4-m），$\frac{2}{3}$m+$\frac{4}{3}$），
设直线MN与x轴的交点为G，
令y=0，则0=$\frac{1}{2}$x+m，
∴x=-2m
则G（-2m，0），
∴OG=2m，
∴S_{四边形OBNM}=S_△BGN-S_△OMG=-$\frac{3}{4}$m²+4，
∴$\frac{1}{2}$×（4+2m）（$\frac{2}{3}$m+$\frac{4}{3}$）-$\frac{1}{2}$×2m×2m=-$\frac{3}{4}$m²+4，
解得m=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定，待定系数法求一次函数的解析式，两直线的交点以及三角形面积等，根据待定系数法求得直线的解析式是解题的关键．