Question

1．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
（1）如图①在AB上取一点D，将纸片沿OD翻转，使点A落在BC边上的点E处．求D、E两点的坐标；
（2）如图②，若OE上有一动点P（不与O，E重合），自点O沿OE方向向点E做匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒（0＜t＜5），过点P作DE的平行线交OD于点M，连结ME，求当t为何值时，以点P、M、E为顶点的三角形与△ODA相似，并求出相应时刻点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知OE=5，然后利用勾股定理可求得CE=3，从而求得点E的坐标，然后在三角形EDB中，利用翻折的性质和勾股定理可求得ED的长，从而可求得点D的坐标；
（2）首先证明∠EPM=90°，首先根据相似三角形的性质可知∠PEM=∠DOA或∠PME=∠DOA，然后利用相似三角形的性质可求得t的值，过点M作MF⊥OA，垂足为F．然后证明△OPM≌△OFM，从而可求得点M的坐标．

解答 解：（1）由翻折的性质可知：OE=OA=5．
在Rt△OCE中，CE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∴点E的坐标为（3，4）．
∴EB=CB-CE=5-3=2．
设AD=x，则BD=4-x．
由翻折的性质可知：ED=AD=x．
在Rt△BED中，EB²+BD²=ED²，即2²+（4-x）²=x²．
解得：x=2.5．
∴AD=2.5．
∴点D的坐标为（5，2.5）．
（2）由翻折的性质可知：∠OED=∠DAO=90°，∠DOE=∠DOA．
∵PM∥ED，
∴∠MPE+∠PED=180°．
∴∠MPE=90°．
∴∠MPE=∠DAO．
∵△PEM∽△OAD，
∴∠PEM=∠DOA或∠PME=∠DOA．
①当∠PEM=∠DOA时，在△OPM和△EPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠DOA}\\{∠MPE=∠MPO}\\{PM=PM}\end{array}\right.$，
∴PE=PO．
∴t=2.5
如图1所示，过点M作MF⊥OA，垂足为F．

在△OPM和△OFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠POM=∠FOM}\\{∠MPO=∠MFO}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OPM≌△OFM．
∴MF=PM=$\frac{1}{2}OP$=1.25，OF=OP=2.5．
∴点M的坐标为（2.5，1.25）．
②当∠PME=∠DOA时，OP=t，则PE=5-t．
∵∠DOE=∠DOA，
∴$\frac{PM}{PO}=\frac{AD}{OA}=\frac{1}{2}$．
∴PM=$\frac{1}{2}t$．
∵∠PME=∠DOA
∴$\frac{PE}{PM}=\frac{AD}{OA}=\frac{1}{2}$．即$\frac{5-t}{\frac{1}{2}t}=\frac{1}{2}$．
解得：t=4．
如图2所示，过点M作MF⊥OA，垂足为F．

在△OPM和△OFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠POM=∠FOM}\\{∠MPO=∠MFO}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OPM≌△OFM．
∴MF=PM=$\frac{1}{2}OP$=2，OF=OP=4．
∴点M的坐标为（4，2）．
综上所述，当t=2.5时，以点P、M、E为顶点的三角形与△ODA相似，此时点M的坐标为（2.5，1.25）；当t=4时，以点P、M、E为顶点的三角形与△ODA相似此时点M的坐标为（4，2）．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．