如图①.将一张矩形纸片对折.然后沿虚线剪切.得到两个三角形纸片△ABC.△A1B1C1．(1)将△ABC.△A1B1C1如图②摆放.使点A1与B重合.点B1在AC边的延长线上.连接CC1交BB1于点E．①求证:四边形C1B1AB为梯形.②若∠A= 45°, ∠ABC= 30°, 求∠B1C1C的度数 (2)若将△ABC.△A1B1C1如图③摆放.使点B1与B重合.点A1在AC边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A₁B₁C₁．

（1）将△ABC，△A₁B₁C₁如图②摆放，使点A₁与B重合，点B₁在AC边的延长线上，连接CC₁交BB₁于点E．
①求证：四边形C₁B₁AB为梯形.
②若∠A="45°," ∠ABC="30°," 求∠B₁C₁C的度数
（2）若将△ABC，△A₁B₁C₁如图③摆放，使点B₁与B重合，点A₁在AC边的延长线上，连接CC₁交A₁B于点F．试判断∠A₁C₁C与∠A₁BC是否相等，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AC＝3，B₁C₁＝6，设A₁B＝x，C₁F＝y，写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

（1）①证明见解析，②60°. （2）相等，理由见解析；（3）.

解析试题分析：（1）①根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由△ABC≌△A₁B₁C₁可得B₁C∥C₁A和BC₁≠B₁A，从而得证. ②由角的等量转换可由求解.
（2）由△C₁BC∽△A₁BA可得结论.
（3）由△BC₁F∽△B A₁C₁可得结论.
（1）①如图，依题意知：△ABC≌△A₁B₁C₁，∴∠A＝∠2，BB₁＝BA，BC₁＝CA，∠3＝∠4.
∵BB₁＝BA，∴∠1＝∠A. ∴∠1＝∠2. ∴B₁C∥C₁A.
∵BC₁＝CA，∴BC₁≠B₁A.
∴四边形C₁B₁AB为梯形.

②∵∠A=45°,∠1＝∠A，∠1＝∠2, ∴∠2＝45°.
∵∠3＝∠4,∠3="30°," ∴∠4=30°.
∵BC₁∥AC, BC₁＝AC，∴CA BC₁是平行四边形. ∴∠6＝∠A＝45°.
∴.
（2）结论是：∠A₁C₁C＝∠A₁BC，理由如下：
如图，易证：△C₁BC∽△A₁BA，
∴∠3＝∠A.
∵∠A＝∠4，∴∠3＝∠4.
又∠C₁FA₁＝∠CFB，∴∠A₁C₁C＝∠A₁BC.

（3）∵BC=B₁C₁，∴∠3＝∠5. ∴∠4＝∠5.
又∵∠2＝∠2，∴△BC₁F∽△B A₁C₁.∴.
∵A₁C₁＝AC＝3，BC₁＝B₁C₁＝6， A₁B＝x，C₁F＝y，∴.
∴y与x的函数关系式为.
考点：1.全等三角形的判定和性质；2.等腰三角形的判定和性质；3.梯形的判定；4.平行四边形的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质；6.三角形内角和定理；7.由实际问题列函数关系式.

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（2）如果小亮的身高AB=1.6m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．

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(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.
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②当x＝6时，求线段FG的长.

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在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，
且DM⊥DN，作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E。
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC。
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明。

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如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连结AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.

求证：(1)CG＝BH，
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已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)，(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)

(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A₁B₁C₁，并直接写出C₁点的坐标；
(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A₂BC₂，使△A₂BC₂与△ABC位似，且位似比为2∶1，并直接写出C₂点的坐标及△A₂BC₂的面积．